Deriving the Quadratic Formula
This page outlines the derivation of the Quadratic Formula. Nine equations are organized in the <mtable> element to align the steps of the derivation by the equal sign. Some steps are annotated with colored text. The derivation is also represented in LaTeX format in the <annotation> element.
Derivation
We take a quadratic equation in its general form, and solve for x.
html
<math display="block">
<semantics>
<mtable>
<!-- Step one -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mi>a</mi>
<!-- Invisible times Unicode character -->
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<!-- Invisible times Unicode character -->
<mo>⁢</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step two -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mi>a</mi>
<!-- Invisible times Unicode character -->
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<!-- Invisible times Unicode character -->
<mo>⁢</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mo>−</mo>
<mi>c</mi>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step three -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>a</mi>
</mfrac>
<mo></mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mi>a</mi>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller">Divide out leading coefficient.</mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step four -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mi>a</mi>
</mfrac>
<mo></mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mi>c</mi>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller">Complete the square.</mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step five -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller">Discriminant revealed.</mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step six -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller"></mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step seven -->
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mrow>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller"></mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step eight -->
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>±</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mi>C</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller">There's the vertex formula.</mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<!-- Step nine -->
<mtr>
<mtd>
<mi>x</mi>
</mtd>
<mtd>
<mo>=</mo>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mi>b</mi>
<mo>±</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mi>C</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<msqrt>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mtext style="color: red; font-size: smaller"></mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<!-- Representation in TeX format -->
<annotation encoding="application/x-tex">
\begin{aligned}
ax^2 + bx + c &= 0 \\
ax^2 + bx &= -c \\
x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} & \text{\color{red} \small Divide out leading coefficient.} \\
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{-c(4a)}{a(4a)} + \frac{b^2}{4a^2} & \text{\color{red} \small Complete the square.} \\
\left(x + \frac{b}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}\right) &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} & \text{\color{red} \small Discriminant revealed.} \\
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\
x + \frac{b}{2a} &= \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\
x &= \frac{-b}{2a} \pm {C} \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} & \text{\color{red} \small There's the vertex formula.} \\
x &= \frac{-b \pm {C}\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{aligned}
</annotation>
</semantics>
</math>