Beweis des Satzes des Pythagoras

Diese Seite skizziert den Beweis des Satzes des Pythagoras. Drei Gleichungen sind im <mtable> Element organisiert, um die Schritte des Beweises am Gleichheitszeichen auszurichten. Der Beweis wird auch im LaTeX-Format im <annotation> Element dargestellt.

Beweis

Aussage: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten. Genauer gesagt, wenn $a$ und $b$ die Katheten sind und $c$ die Hypotenuse, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$ .

Beweis: Wir können den Satz algebraisch beweisen, indem wir zeigen, dass auf dieser Abbildung die Fläche des großen Quadrats gleich der Fläche des inneren Quadrats (Hypotenuse im Quadrat) plus der Fläche der vier Dreiecke ist:

html

<math display="block">
  <semantics>
    <mtable>
      <!-- Step one -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mi>a</mi>
              <mo>+</mo>
              <mi>b</mi>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>4</mn>
          <mo>⋅</mo>
          <mo>(</mo>
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
          <mo>)</mo>
        </mtd>
      </mtr>
      <!-- Step two -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>a</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>2</mn>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
          <mo>+</mo>
          <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>2</mn>
          <mi>a</mi>
          <mi>b</mi>
        </mtd>
      </mtr>
      <!-- Step three -->
      <mtr>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>a</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>+</mo>
          <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
        <mtd>
          <mo>=</mo>
        </mtd>
        <mtd>
          <msup>
            <mi>c</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
    <!-- Representation in TeX format -->
    <annotation encoding="application/x-tex">
      \begin{aligned}
      (a + b)^2 &= c^2 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} ab \right) \\
      a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\
      a^2 + b^2 &= c^2
      \end{aligned}
    </annotation>
  </semantics>
</math>